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Von Konstruktionen, Origami und Polynomen – ein Blick in die Galoistheorie

Bei einer Konstruktionsaufgabe stellt sich als erstes die Frage, ob sie überhaupt lösbar ist. Die Dreiteilung des Winkels, die Quadratur des Kreises und Volumenverdoppelung des Würfels sind die drei klassischen Konstruktionsprobleme der griechischen Antike. Dass diese unmöglich sind konnte erst im 19. Jahrhundert gezeigt werden. Ebenso wurde die Frage, für welche n ein regelmäßiges n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, beantwortet.

Auch wenn die genannten Problemstellungen unterschiedlich erscheinen, lassen sie sich doch auf ein gemeinsames algebraisches Konzept zurückführen. Dazu benötigt man die Begriffe von Gruppen und Körpern. Die Galoistheorie gibt eine Entscheidung, ob die Lösungen von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrücken und Grundrechenarten dargestellt werden können oder nicht. Mit Hilfe der zu Ehren von Évariste Galois so genannten Theorie lässt sich die Unlösbarkeit der drei griechischen Konstruktionsprobleme zeigen.

Bemerkenswert ist, dass Galois nur 20 Jahre alt wurde und 1832 in einem Duell starb. Dennoch prägte er das aus der modernen Mathematik nicht mehr wegzudenkende Objekt der Gruppe und nutzte das bis dahin ungebräuchliche Vorgehen, Beziehungen zwischen zwei unterschiedlichen Typen von Objekten und deren Eigenschaften herzustellen. Dabei gelang es ihm, die Auflösbarkeit einer gegebenen Gleichung aus den Eigenschaften eines dazu korrespondierenden Objekts, der Galois-Gruppe, abzulesen.

Über die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal hinaus gibt es weitere Konstruktionsmethoden, sodass die Konstruktionen mit diesen Hilfsmitteln möglich werden. Oder es wurden Verfahren beschrieben, mit denen sehr gute Näherungslösungen erreicht werden. Zum Beispiel kann man die dritte Wurzel aus einer gegebenen Streckenlänge mittels Origami-Faltungen konstruieren. Auch wenn dies die klassischen Konstruktionsprobleme nicht löst, liegt hierbei die Leistung im Finden der Methoden und im Beweis der Exaktheit.

Das Ziel dieses Kurses ist es, die Beweise der Unmöglichkeit der Konstruktionen zu verstehen und Näherungslösungen und Alternativkonstruktionen kennenzulernen. Dazu werden zunächst einmal die benötigten mathematischen Grundlagen erarbeitet. Der Kurs richtet sich an alle, die Spaß am mathematischen Problemlösen haben und sich nicht vor abstraktem Denken scheuen.